# 高级算法
介绍三种高级算法:
- 分治法
- 动态规划
- 贪心算法
# 分治法
分治法(Divide-and-Conquer) : 将原问题划分成 n 个规模较小而结构与原问题相似的子问题;递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解。
分治模式在每一层递归上都有三个步骤:
- 分解(Divide):将原问题分解成一系列子问题。
- 解决(Conquer):递归地解决各个子问题。若子问题足够小,则直接求解。
- 合并(Combine):将子问题的结果合并成原问题的解。
案例:最大子数组问题。在一个数列当中寻找一个子数列,使得这个子数列的元素之和最大。
- 分解:将原数组重中间拆分为 2 个小数组。最大子数组,要么在左边小数组,要么在右边小数组,要么在左右小数组之间。
- 解决:如果小数组元素很多,继续拆分,当拆到 1 个元素的数组时,直接求值。
- 合并:分别将最大左小数组,最大右小数组,中间数组的最大子数组进行合并。
// 分治法
function findMaxSubArray(array, start, end) {
if (start == end) {
return [start, end, array[start]];
}
const mid = Math.floor((start + end) / 2);
const leftMaxSum = findMaxSubArray(array, start, mid);
const rightMaxSum = findMaxSubArray(array, mid + 1, end);
const acrossMaxSum = findAcrossMidSubArray(array, start, end);
if (leftMaxSum[2] > rightMaxSum[2] && leftMaxSum[2] > acrossMaxSum[2]) {
return leftMaxSum;
}
if (rightMaxSum[2] > leftMaxSum[2] && rightMaxSum[2] > acrossMaxSum[2]) {
return rightMaxSum;
}
return acrossMaxSum;
}
// 在左右数组之间
function findAcrossMidSubArray(array, start, end) {
if (start == end) {
return [start, end, array[start]];
}
const mid = Math.floor((start + end) / 2);
//求左侧最大数组值及下标
var leftMaxSum = Number.NEGATIVE_INFINITY;
var leftSum = 0;
var maxArrLeftIdx = mid;
for (var i = mid; i >= start; i--) {
leftSum += array[i];
if (leftSum > leftMaxSum) {
leftMaxSum = leftSum;
maxArrLeftIdx = i;
}
}
//求右侧最大数组值
var rightMaxSum = Number.NEGATIVE_INFINITY;
var rightSum = 0;
var maxArrRightIdx = mid;
for (var j = mid + 1; j <= end; j++) {
rightSum += array[j];
if (rightSum > rightMaxSum) {
rightMaxSum = rightSum;
maxArrRightIdx = j;
}
}
return [maxArrLeftIdx, maxArrRightIdx, leftMaxSum + rightMaxSum];
}
console.warn(
"分治法:",
findMaxSubArray([-11, 34, 37, 30, -42, 4, 16, 47, 36, 19], 0, 9)
);
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# 动态规划
动态规划算法的设计可以分为如下 4 个步骤:
- 描述最优解的结构。
- 递归定义最优解的值。
- 按自底向上的方式计算最优解的值。
- 由计算出的结果构造一个最优解。
动态规划适用于子问题独立且重叠的情况,也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下,若用分治法则会做许多不必要的工作,即重复地求解公共的子问题。动态规划算法对每个子子问题只求解一次,将其结果保存在一张表中,从而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。
案例:计算斐波那契数列,数列中第 n 项的值 = 第 n-1 项的值 + 第 n-2 项的值。
//斐波那契数列
function recurFib(n) {
if (n < 2) {
return n;
} else {
return recurFib(n - 1) + recurFib(n - 2);
}
}
console.log("斐波那契数列", recurFib(100));
//动态规划
function dynFib(n) {
var val = [];
for (var i = 0; i <= n; i++) {
val[i] = 0;
}
if (n == 0) {
return 0;
} else if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
} else {
val[0] = 0;
val[1] = 1;
val[2] = 1;
for (var i = 3; i <= n; i++) {
val[i] = val[i - 1] + val[i - 2];
}
return val[n];
}
}
console.log("动态规划", dynFib(10));
//动态规划,不用数组
function iterFib(n) {
if (n > 0) {
var last = 1;
var nestLast = 1;
var result = 1;
for (var i = 2; i < n; i++) {
result = last + nestLast;
nestLast = last;
last = result;
}
return result;
} else {
return 0;
}
}
console.log("动态规划不用数组", iterFib(10));
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# 贪心算法
贪心算法(greedy algorithm),又称贪婪算法,是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择,从而希望导致结果是最好或最优的算法。例如在找零钱时,默认先找最大的金额,然后依次减小,那这就是一种贪心算法。
贪心算法在对问题求解时,总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说,不从整体最优上加以考虑,他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
案例:老师分饼干,每个孩子只能得到一块饼干,但每个孩子想要的饼干大小不尽相同。目标是尽量让更多的孩子满意。 如孩子的要求是 [1, 3, 5, 4, 2],饼干大小是[1, 1],最多能让 1 个孩子满足。 如孩子的要求是 [10, 9, 8, 7, 6],饼干大小是[7, 6, 5],最多能让 2 个孩子满足。
var findContentChildren = function(children, cake) {
var sortChildren = children.sort((a, b) => a - b);
var sortCake = cake.sort((a, b) => a - b);
var i = 0,
j = 0;
var result = 0;
while (sortChildren[i] && sortCake[j]) {
if (sortChildren[i] <= sortCake[j]) {
result++;
i++;
}
j++;
}
return result;
};
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